有时问题出现在一个很短的式子里：√(x+1) − √x。当 x 很大，两个平方根十分接近。这个差仍然大于零，但机器可能给出零。
预计用时：45 分钟。前置是平方根与乘法分配律。本节完成第五单元“机器里的数”。
在 可视化实验台的公式对照 中，逐步把 x 从 10^4 调到 10^16。先考虑两种解释：结果只是非常小，显示不了；或者中间结果被舍入到相同数，相减后确实得到零。
我们需要一条绕过这个中间步骤的路线，而不是只增加显示的小数位。
给原式乘上一个值为 1 的因子，利用 (a−b)(a+b)=a²−b²，在实数算术中得到：
√(x+1) − √x
= ((x+1) − x) / (√(x+1) + √x)
= 1 / (√(x+1) + √x)条件是这里的平方根有定义、分母不为零。本课取 x≥0，分母为正。
在本实验 x=10^16 时，直接相减得到 0，改写式得到 5e-9。这不是说改写后的有限精度值已经等于精确实数答案；它说明我们避免了两个接近的大数相减这一处严重相消。
更细地看，x+1 本身已经无法在 Number 中与 x 区分。直接路线随后产生两个相同平方根；改写路线的分母仍能在这个输入上保持一个良好的量级近似，而分子已经通过代数关系化成精确的常数 1。
代码里确实多了一个除法，式子的形状也更绕。判断它是否更好，需要把准确性纳入目标。如果一个更快的实现直接返回 0，却无法满足任务的误差要求，速度比较已经失去共同前提。
绝对误差描述“差了多少”；相对误差描述“相对于目标量级差了多少”。若真值约为 5e-9，返回 0 的绝对差很小，相对差却约为 100%。对某些用途前者已经可以接受，对另一些用途后者完全不够。
接近零时单独使用相对误差会有困难。常见验收形式是：
|结果 − 参考| ≤ 绝对容差 + 相对容差 × |参考|容差应由用途、输入和参考的可信度决定。参考如果只是另一段相同精度的程序，也不能自动成为真值。
有些问题对输入扰动非常敏感：输入只变一点，答案就可能大幅变化。这属于问题的条件。另一些失败来自所选计算过程放大了本可避免的误差。二者需要分别分析。
改写公式可能改善过程，却无法修复传感器本来就不准确的输入。换更高精度可能减少舍入，也不会自动让含糊的任务定义变得明确。这些区别将在本章的误差预算单元继续使用。
提交一张对照表：取 x=0、10^4、10^8、10^16，记录两条路径的输出，解释差别在哪里开始明显。然后写出这项任务的一个用途，并为它选择验收规则；若无法确定容差，就把缺少的需求写出来。
再回到加法顺序例子，说明两件事分别改变了什么：重新组织运算，重新选择等价表达式。应当能把它们连到具体的舍入节点，而不是只用“精度问题”概括。
我们暂时在能识别表示限制、顺序效应与相消的位置停下。下一单元假设结果已通过检查，追问 乘法之外，机器还在忙什么。